Sombras. Foco impropio
Cuando la luz tiene su origen en un foco impropio (en el infinito) el dato dado es una dirección, expresada en forma derecta con ubicación arbitraria.
Sombra de un punto.
Sistema Diédrico Ortogonal. Sombra de un punto en los planos de proyección. Foco impropio.
Sombra de un punto en los planos de proyección.
Dada la dirección[1] de los rayos luminosos D (d’,d), hacemos pasar por el punto dado A (a’,a) rectas paralelas a las proyecciones homónimas de la dirección dada quedando así definida la recta de sombra R. Las trazas hr y v’r de ésta recta con los planos de proyección determinan las sombras de A sobre dichos planos. (Sombra de A (Sa-pv) en el plano vertical de proyección=v’r. Sombra de A (Sa-ph) en el plano horizontal de proyección=hr). Figura 4.
Sombra de un punto en un plano oblicuo.
Dada la dirección de la luz D y el punto A, para calcular la sombra de este en un plano Q, operaremos en principio de igual forma que en el ejercicio anterior. La intersección de la recta R de sombra con el plano dado Q determina la sombra del punto A sobre dicho plano. Para calcular ésta intersección recta-plano nos auxiliamos, como sabemos, de un segundo plano de fácil trazado (proyectante) que contenga a la recta R. Figura 5.
Sombra de una recta.
Sombra de una recta en los planos de proyección.
Es el lugar geométrico de las sombras arrojadas de todos sus puntos. Dada la recta R y la dirección D, calculamos las sombras de dos puntos A y B de la recta mediante el procedimiento explicado. Uniendo las sombras arrojadas de A y B sobre el plano vertical y las sombras sobre el plano horizontal, obtenemos las sombras de la recta dada (Sr, pv y Sr, ph) sobre dichos planos. Si se prolongan, éstas deben coincidir en un mismo punto (doble) de la línea de tierra[2]. Figura 6.
Sistema Diédrico. Sombra de un punto en un plano oblicuo. Sombra de un segmento en los planos de proyección.
Sombra de una recta en un plano oblicuo.
Calculamos las sombras de 2 de los puntos de la recta sobre el plano dado Q tal y como vimos en “sombra de un punto”, uniendo las proyecciones homónimas de las sombras de los puntos A y B obtenemos las proyecciones vertical y horizontal (Sr’ y Sr[3]) de la sombra buscada. Figura 7
Sistema Diédrico. Sombra de un segmento y una figura plana en un plano oblicuo.
Sombra de figuras planas.
Sombra de un polígono en los planos de proyección.
Se calculan las sombras de los vértices de la figura dada (A, B y C en el ejemplo) por el método anteriormente descrito,uniendo las sombras homónimas ordenadamente obtenemos la sombra del polígono en cuestión. Figura 8. Si la sombra cae sobre la línea de tierra, los lados homónimos del polígono de sombra que la corten tendrán un punto doble en ella( Figura 9, puntos 1 y 2). Considerando ambos planos de proyección opacos, las partes vistas de los polígonos de sombra son las que pertenecen al primer cuadrante.
Sombra de un polígono horizontal, en los planos de proyección.
Si el polígono es paralelo a uno de los planos de proyección (horizontal o frontal), la sombra sobre este plano es idéntica al propio polígono. Figura 9.
Sombra de un polígono en un plano oblicuo.
Calculando las sombras de sus vértices sobre el plano oblicuo dado y uniendo las homónimas obtenemos la sombra del polígono. Figura 10.
Sistema Diédrico. Sombra de una figura plana en los planos de proyección y en un plano oblicuo.
Sombra de cuerpos en los planos de proyección.
Sistema Diédrico. Sombra de un prisma.
Se calculan las sombras de sus vértices, uniendo las homónimas ordenadamente obtenemos la sombra arrojada del cuerpo. Los casos que veremos son de cuerpos sencillos, apoyados en el plano horizontal de proyección, presentan por tanto una o dos bases según sea el cuerpo, paralelas a uno de los planos de proyección.
Sombra del prisma.
Dibujaremos la sombra de un prisma recto apoyado por una base en el plano horizontal de proyección. Calculamos para ello la sombra de la base superior(sombras de a’, b’ y c’) en el plano horizontal (Sa, Sb, Sc) y la sombra sobre éste plano de la base inferior, coincidente ésta última con ella misma por lo que, uniendo las sombras obtenidas de la base superior con los vértices correspondientes de la base inferior (d, e y f) obtenemos la sombra de las aristas laterales y de las bases del cuerpo en el plano horizontal.
Calculamos las sombras de los vértices (solo nos resultaran útiles las sombras de los vértices de la base superior) del cuerpo en el plano vertical de proyección. Las sombras de las aristas C-B y C-A del cuerpo cortan a la línea de tierra en los puntos 1 y 2, estos puntos son “dobles” pues pertenecen simultáneamente a las sombras del cuerpo sobre ambos planos de proyección.
Supuestos opacos los dos planos de proyección, la sombra se deja ver solamente sobre el primer cuadrante por lo que gran parte de la sombra sobre el plano vertical será oculta en éste ejemplo así como la sombra del vértice C sobre el plano horizontal de proyección y parte de las aristas que a él concurren. El contorno de la sombra en ésta situación (planos de proyección opacos) será el polígono de vértices “sombra de E en el plano horizontal de proyección” (Se-ph), “sombra de F en el plano horizontal de proyección” (Sf-ph), Punto doble 1, “sombra de C en el plano vertical de proyección” (Sc-pv), punto doble 2 y “sombra de B en el plano horizontal de proyección” (Sb-ph). Figura 11.
SOMBRA PROPIA: Decíamos que, el límite entre sombra propia y zona iluminada lo determinaba la línea separatriz(definida por los puntos de tangencia de los rayos de sombra con el cuerpo). En el caso de un cilindro o un cono tendremos que calcularla pero cuando trabajemos con una superficie prismática las propias aristas del cuerpo (algunas) harán de línea separatriz. En el ejemplo son líneas separatrices las aristas laterales F-C, E-B y básicas A-C, A-B y F-E.
Las zonas iluminadas serán las caras donde incidan directamente los rayos luminosos y las de sombra propia donde no.Las aristas dispuestas entre caras iluminadas y de sombra propia, son líneas separatrices. Figura 11. En las figuras 11A y 11B se ha realizado el mismo ejercicio de la figura 11 supuestos transparentes los planos vertical y horizontal de proyección respectivamente.
Sistema Diédrico. Sombra de un prisma en los planos de proyección considerando el vertical (11A) y el horizontal (11B) transparentes.
Sombra de la pirámide.
Pirámide con la base contenida en el plano horizontal de proyección. La sombra de la base sobre el plano horizontal de proyección coincidirá con la propia base. La sombra del vértice se calcula como la de un punto aislado. Para determinar las sombras de las aristas laterales sobre el plano horizontal de proyección se trazan rectas desde la sombra del vértice en dicho plano hasta los vértices de su base. Para determinar las aristas que hacen la función de líneas separatrices, trazamos en la planta rectas paralelas a la proyección horizontal de la dirección dada y que pasen por los vértices de la base, los vértices comprendidos entre las paralelas así trazadas y extremas no se corresponden con aristas que hagan de líneas separatrices, no así los otros. Son separatrices las aristas F-C y E-C. En éste ejercicio y en el siguiente, la sombra comprendida en el primer cuadrante y por tanto vista, corresponde exclusivamente a la arrojada sobre el plano horizontal de proyección. Figura 12.
Sombra del cono.
Cono recto de revolución con la base contenida en el plano horizontal de proyección. Trabajamos de la misma forma que en la pirámide. Las líneas separatrices son las generatrices trazadas por los puntos de tangencia e y f resultado de trazar rectas tangentes a la base desde la sombra del vértice Sc. Figura 13.
Sistema Diédrico. Sombra de una pirámide y un cono.
Sombra del cilindro.
Cilindro recto y de revolución, con la base contenida en el plano horizontal de proyección. Se resuelve de igual forma que el prisma, para determinar las generatrices separatrices trazamos en planta rectas tangentes a la base y paralelas a la proyección horizontal de la dirección de sombra dada obteniendo los puntos C y D por donde trazaremos las generatrices separatrices C-A y D-B. La sombra de la base superior será un círculo en el plano horizontal de proyección por ser ésta paralela a dicho plano y una elipse en el plano vertical de proyección. De la posición relativa del cuerpo respecto al plano vertical de proyección dependerá que se vea integramente la elipse, el círculo o ambas figuras parcialmente. En las ilustraciones 14 A y 14 B se ha proyectado la sombra del cilindro suponiendo transparentes los planos vertical y horizontal de proyección respectivamente.
Sistema Diédrico. Sombra de un cilindro en los planos de proyección considerando el vertical (14A) y el horizontal (14B) transparentes.
En la figura 15, se proyecta la sombra del cilindro vista en el primer cuadrante pues hemos supuesto opacos los planos de proyección. Los puntos dobles 1 y 2 pertenecen simultáneamente a las sombras que el cilindro arroja sobre ambos planos de proyección.
Sistema Diédrico. Sombra de un cilindro en los planos de proyección considerando los planos de proyección opacos.
[1]A partir de éste ejercicio, en todos los casos de Sistema Diédrico Ortogonal que utilicemos de ejemplo, la dirección dada será la diagonal de un cubo con dos caras contenidas en los planos de proyección
[2]Las sombras Sr’ y Sr son en realidad las trazas de un plano de sombra, formado o determinado por las infinitas rectas de sombra que pasan por R con la dirección dada. El punto doble mencionado no es sino el vértice de éste plano..
[3]Algunos autores designan las sombras de un punto A (A,A’) y de una recta R (R,R’).
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Sombras en los Sistemas de Representación. Generalidades
Introducción a la teoría de sombras.
Finalidad.
La representación de cuerpos en cualquiera de los sistemas de representación empleados en Geometría Descriptiva permite definir de forma precisa los elementos de éstos. Podemos sin embargo mejorar su entendimiento mediante iluminación y sombras.Elementos.
Al incidir los rayos luminosos en un objeto podemos observar una zona iluminada y otra oscura o sombra, separadas por una línea denominada separatriz o línea de sombra. Figura 1. Si bien es cierto que, en la realidad, en todas éstas zonas pueden apreciarse variaciones tonales -la propia línea separatriz no lo es tal sino otra zona, difusa y de intersección entre la zona iluminada y la de sombra- en geometría se distingue solamente entre zonas iluminadas y de sombra, considerando a la línea separatriz como el lugar geométrico de los puntos de contacto de los rayos luminosos tangentes al cuerpo.Sombras propias y arrojadas.
Las sombras pueden ser propias si forman parte de la figura o arrojadas si se proyectan sobre planos o figuras próximas (la figura intercepta la luz que, de no estar hubiese llegado al plano). Las primeras se dibujan con trama más ligera (simulando la luz que sobre la pieza refleja el plano donde se proyecta la sombra).
Teoria de sombras. Elementos. DirecciónTipos de cuerpos.
Los cuerpos se clasifican en luminosos, no luminosos, transparentes y opacos. Los primeros tienen luz propia, los no luminosos reflejan la luz que reciben, los transparentes la dejan pasar y los opacos no. En geometría solo consideraremos los cuerpos transparentes u opacos.Direcciones más usuales en geometría de los haces luminosos.
La luz se propaga en línea recta desde el foco que la genera y en todas las direcciones. Cuando el foco es propio los rayos divergen siendo paralelos entre sí cuando el foco está en un punto impropio (los rayos del sol se toman como paralelos a efectos prácticos).El foco propio viene dado como un punto cualquiera en el sistema de representación en que estemos trabajando. Cuando se trata de un foco impropio nos dan una dirección (expresada como una recta, siendo su ubicación indeterminante).Normalmente se trabaja con foco impropio y por tanto con direcciones, éstas suelen ser:- En Topografía (Sistema Acotado): Direcciones Verticales (perpendiculares al plano de proyección), destacan en una superficie principalmente iluminada trazos tortuosos o zonas escarpadas. Se denomina Luz Cenital.
- En Sistema Diédrico Ortogonal jamás se emplean direcciones perpendiculares a los planos de proyección (de punta o verticales) pues la sombra quedaría por debajo del propio objeto. Suelen emplearse las siguientes direcciones.
- Paralela a uno de los planos de proyección. Tienen la ventaja de que solo hay que dibujar sombra arrojada en uno de los planos de proyección.
- Perpendicular a la línea de tierra. El inconveniente es tener que acudir a un plano de perfil para su cálculo.
- Oblicua a ambos planos. Es la más empleada. Entre las múltiples direcciones oblicuas a ambos planos de proyección que podemos adoptar, existe una que se utiliza sistemáticamente y que queda definida por la diagonal de un cubo que tiene dos de sus caras en contacto con los planos de proyección. Las proyecciones de ésta diagonal sobre los planos de proyección forman por tanto 45º con la línea de tierra. Figura 2.
Sistema Axonométrico Ortogonal. Sombras. Foco propio
Sombras foco propio.
Cuando se trata de foco propio, este viene definido como un punto F por sus coordenadas F(x,y,z). El método es idéntico al empleado en Sistema Diédrico Ortogonal.Sombra de un punto en los planos de proyección XOY, XOZ.
Dado el foco F y el punto A, calcularemos primero la sombra (Sa’) arrojada de A sobre XOY suponiendo transparente el plano ZOX y seguidamente, la sombra de A (Sa”) sobre el plano XOZ considerándolo opaco. Unimos las proyecciones principales del foco y del punto dados F y A, obteniendo la proyección principal de la recta de sombra R, para calcular la sombra sobre XOY, unimos las proyecciones secundarias de A y F sobre este plano (a’ y f’) obteniendo la proyección secundaria de la recta de sombra r’. La traza de R con XOY es el punto buscado y coincide como sabemos con la intersección de la proyección principal R y la secundaria r’. Para calcular la sombra de A sobre el plano XOZ podemos seguir los mismos pasos pero calculando, en éste caso, la intersección o traza entre la recta principal R y la secundaria r” sobre XOZ. Figura 16.No es preciso dibujar a” y r” para calcular la sombra Sa” pues, aprovechando la construcción efectuada con anterioridad, trazamos una paralela al eje Z por el punto en donde r’ corta al eje X, la intersección de ésta recta con la proyección principal de la recta de sombra R también determina la sombra de A en XOZ.Sombra de una recta sobre los planos de proyección.
Calculando la sombra de dos de sus puntos por el método descrito, y uniéndolos posteriormente, queda resuelto el problema. En la figura 17 se ha resuelto la sombra del segmento A-B, perpendicular al plano XOZ dado el foco F. Las sombras de los puntos A y B sobre los planos XOY y XOZ son Sa’ y Sa” para el primero y Sb’ y Sb” para el segundo respectivamente. La sombra Sb’ coincide con la proyección principal del punto B por estar éste situado en el plano XOY. Si consideramos el plano XOZ transparente, el segmento de sombra arrojada lo obtendremos uniendo las sombras de los puntos A y B sobre el plano opaco XOY, es decir, el segmento Sa’-Sb’. Considerando transparente el plano XOY, el segmento de sombra arrojada será Sa”-Sb”. Considerando por último ambos planos de proyección opacos, la sombra del segmento A-B vendrá determinada por la polilínea Sa”-n-Sb’, siendo el punto de inflexión n un punto doble por pertenecer a ambos planos de proyección simultáneamente.
Axonométrico Ortogonal. Foco Propio. Sombra de un punto y una recta sobre los planos de proyección.Sombra de un cuerpo en el plano XOY.
Calculamos la sombra de sus vértices y unimos ordenadamente. Dado el prisma recto, apoyado en XOY, y el foco F, calcularemos la sombra de este en XOY. Tendremos en cuenta que la sombra de los vértices de la base coincide con estos. Determinaremos las rectas separatrices en el cuerpo, trazando las rectas límites desde la proyección sobre XOY del foco (f’) a la base. Las rectas separatrices son, en este ejemplo, las aristas laterales C-H y A-E y las aristas básicas C-D, C-A, A-B, D-B y H-E. Éstas delimitan las zonas de luz y sombra propia del cuerpo. Las sombras, propias y arrojadas del cuerpo, se dibujan con segmentos equidistantes entre sí y paralelos al eje izquierdo del plano al que pertenecen al que son paralelos tal y como se aprecia en la figura 18.
Axonométrico Ortogonal. Foco Propio. Sombra de un cuerpo sobre los planos de proyección.
Sistema Axonométrico Ortogonal. Sombras. Foco impropio
Sombras foco impropio.
Como en Sistema Diédrico Ortogonal, nos dan la dirección de la luz (de haces paralelos por estar el foco en el infinito),como una recta D (d’,d’’,d’’’), indicándonos así mismo el sentido de la luz con una flecha.
Sombra de un punto en planos de proyección XOY, XOZ.
Dado el punto A y la dirección F, para calcular la sombra de A en el plano XOY dibujaremos una recta paralela a la proyección principal de la dirección dada D por la proyección principal del punto A, obteniendo la proyección principal de la recta de sombra R que pasa por A. De igual forma, pasamos por la proyección secundaria del punto dado a’ una recta paralela a la proyección secundaria de la dirección de la luz d’ obteniendo la proyección r’ sobre el plano XOY de la recta de R. La traza de la recta de sombra R con el plano XOY determina la posición de la sombraarrojada Sa’, del punto A.
Para calcular la sombra del punto A sobre el plano de proyección XOZ, procedemos de forma idéntica pero con las proyecciones secundarias sobre el plano XOZ de la recta de sombra, la dirección de la luz y el punto dado (r”, d” y a” respectivamente) o bien trazamos una recta paralela al eje Z por el punto doble n donde la proyección secundaria r’ corta al eje X hasta que ésta corte a la proyección principal R de la recta de sombra. (NOTA: R, r’, A, a’ y Sa’’, definen o pertenecen a un plano Q normal a XOY de traza con XOZ coincidente con la paralela antedicha. Sa’’ está en XOZ y pertenece a éste plano luego tiene que estar en la intersección de ambos o traza Q’’). Figura 18.
Axonométrico Ortogonal. Foco impropio. Sombra de un punto y de una recta.
Sombra de una recta en planos de proyección XOY, XOZ.
Calculando las sombras de dos de sus puntos y uniéndolas, obtenemos la sombra buscada. En el ejercicio de la figura 19 se ha calculado la sombra de un segmento A-B perpendicular al plano XOY. Los segmentos Sa’-Sb’ y Sa”-Sb” determinan la sombra sobre los planos XOY y XOZ respectivamente. La polilínea Sa”-n-Sb’ determina la sombra arrojada y vista del segmento A-B suponiendo opacos los planos de proyección. La dirección de la luz viene expresada en Sistema Diédrico Ortogonal. Para pasar a sistema Axonométrico trasladamos las coordenadas X, Y y Z de la recta D aplicando las reducciones correspondientes.
Sombra de cuerpos en los planos XOY, XOZ.
Sombra de un Prisma.
En el ejercicio de la figura 20 se ha dibujado la sombra de un prisma recto de base contenida en el plano XOY, suponiendo los planos de proyección opacos y para una dirección de la luz D,d’. Las zonas iluminadas y de sombra propia quedan delimitadas por las aristas del prisma que sean separatrices.
Axonométrico Ortogonal. Foco impropio. Sombra de un cuerpo.
Sombra de un Cono.
Cono recto y de revolución con la base contenida en XOY. Consideraremos los planos de proyección opacos. Calculamos la sombra arrojada sobre XOY del vértice del cono. Desde esta sombra trazamos tangentes a la base. El área comprendida entre la base del cono, las tangentes a ella trazadas y la sombra del vértice, es la sombra arrojada. Lasombra propia la delimitan las generatrices separatrices de origen en los anteriores puntos de tangencia a la base. Para calcular la sombra sobre XOZ, calculamos la sombra del vértice V sobre ZOX y unimos este punto con las intersecciones sobre el eje X de las tangentes anteriormente trazadas. (Estas tangentes no son sino la sombra de las separatrices). Figura 21.
Axonométrico Ortogonal. Foco impropio. Sombra de un cono y un cilindro.
Sombra de un cilindro.
Sistema Acotado. Sombras. Foco impropio
Sombras foco impropio.
Como en el resto de sistemas, en este también podemos operar con foco propio. No siendo este un sistema diseñado para la representación de piezas, resolveré un solo ejercicio para entender el proceso.
Sombra de una pirámide en el plano de proyección.
Dada la pirámide de la figura, con su base paralela al Plano de Proyección y dada la recta R que determina la dirección de la luz (proyección r de una recta, debidamente graduada y sin ubicación concreta), abatimos la recta para comprobar su pendiente. Por un vértice A de la base del cuerpo trazamos una recta paralela a la dirección dada y por el punto abatido en Ao una recta paralela a la dirección abatida Ro. El punto de intersección de ambas rectas paralelas determina la sombra Sa del punto A en el plano de proyección.
Con el vértice V de la figura trabajamos de igual forma. Para determinar la sombra de los puntos B, C y D de la base podemos proceder como con el punto A o bien trazar por la sombra Sa obtenida una base paralela a la del cuerpo. Por ser la base ABCD paralela al Plano de Proyección, su sombra sobre este se mantiene con idéntica magnitud y forma. Unimos la sombra del vértice superior V con la sombra de los vértices de la base y procedemos al rayado de la parte vista de la sombra arrojada. La sombra propia vista corresponde a las caras AVD y CVD siendo sombra propia oculta la propia base del cuerpo ABCD. Las líneas separatrices son las aristas laterales AV y VC y de la base AB y BC. Figura 24.
Sistema Axonométrico Ortogonal. Sombras. Foco impropio
istema Axonométrico Ortogonal. Sombras. Foco impropio
Sombras foco impropio.
Como en Sistema Diédrico Ortogonal, nos dan la dirección de la luz (de haces paralelos por estar el foco en el infinito),como una recta D (d’,d’’,d’’’), indicándonos así mismo el sentido de la luz con una flecha.
Sombra de un punto en planos de proyección XOY, XOZ.
Dado el punto A y la dirección F, para calcular la sombra de A en el plano XOY dibujaremos una recta paralela a la proyección principal de la dirección dada D por la proyección principal del punto A, obteniendo la proyección principal de la recta de sombra R que pasa por A. De igual forma, pasamos por la proyección secundaria del punto dado a’ una recta paralela a la proyección secundaria de la dirección de la luz d’ obteniendo la proyección r’ sobre el plano XOY de la recta de R. La traza de la recta de sombra R con el plano XOY determina la posición de la sombraarrojada Sa’, del punto A.
Para calcular la sombra del punto A sobre el plano de proyección XOZ, procedemos de forma idéntica pero con las proyecciones secundarias sobre el plano XOZ de la recta de sombra, la dirección de la luz y el punto dado (r”, d” y a” respectivamente) o bien trazamos una recta paralela al eje Z por el punto doble n donde la proyección secundaria r’ corta al eje X hasta que ésta corte a la proyección principal R de la recta de sombra. (NOTA: R, r’, A, a’ y Sa’’, definen o pertenecen a un plano Q normal a XOY de traza con XOZ coincidente con la paralela antedicha. Sa’’ está en XOZ y pertenece a éste plano luego tiene que estar en la intersección de ambos o traza Q’’). Figura 18.
Axonométrico Ortogonal. Foco impropio. Sombra de un punto y de una recta.
Sombra de una recta en planos de proyección XOY, XOZ.
Calculando las sombras de dos de sus puntos y uniéndolas, obtenemos la sombra buscada. En el ejercicio de la figura 19 se ha calculado la sombra de un segmento A-B perpendicular al plano XOY. Los segmentos Sa’-Sb’ y Sa”-Sb” determinan la sombra sobre los planos XOY y XOZ respectivamente. La polilínea Sa”-n-Sb’ determina la sombra arrojada y vista del segmento A-B suponiendo opacos los planos de proyección. La dirección de la luz viene expresada en Sistema Diédrico Ortogonal. Para pasar a sistema Axonométrico trasladamos las coordenadas X, Y y Z de la recta D aplicando las reducciones correspondientes.
Sombra de cuerpos en los planos XOY, XOZ.
Sombra de un Prisma.
En el ejercicio de la figura 20 se ha dibujado la sombra de un prisma recto de base contenida en el plano XOY, suponiendo los planos de proyección opacos y para una dirección de la luz D,d’. Las zonas iluminadas y de sombra propia quedan delimitadas por las aristas del prisma que sean separatrices.
Axonométrico Ortogonal. Foco impropio. Sombra de un cuerpo.
Sombra de un Cono.
Cono recto y de revolución con la base contenida en XOY. Consideraremos los planos de proyección opacos. Calculamos la sombra arrojada sobre XOY del vértice del cono. Desde esta sombra trazamos tangentes a la base. El área comprendida entre la base del cono, las tangentes a ella trazadas y la sombra del vértice, es la sombra arrojada. Lasombra propia la delimitan las generatrices separatrices de origen en los anteriores puntos de tangencia a la base. Para calcular la sombra sobre XOZ, calculamos la sombra del vértice V sobre ZOX y unimos este punto con las intersecciones sobre el eje X de las tangentes anteriormente trazadas. (Estas tangentes no son sino la sombra de las separatrices). Figura 21.
Axonométrico Ortogonal. Foco impropio. Sombra de un cono y un cilindro.
Sombra de un cilindro.
Recto, de revolución, de base contenida en XOY. La base superior, elíptica en perspectiva, mantiene la misma forma en su sombra sobre XOY por mostrarse paralela a éste, calculamos la sombra de cualquiera de los puntos de la base superior y reconstruimos esta a partir de dicho punto de sombra. Para calcular las separatrices, trazamos tangentes a la elipse de la base inferior y sombra según paralelas a la proyección sobre XOY de la dirección de sombra. Figura 22.
Sistema Cónico. Sombras. Foco propio
Sombras foco propio.
Un foco finito viene expresado en este sistema como cualquier otro punto, es decir por sus proyecciones directa y horizontal sobre el cuadro F,f. El foco puede venir dado por las proyecciones mencionadas o por coordenadas, F(x,y,z).
Sombra de un punto en el plano geometral.
El mecanismo es idéntico en Sistema Cónico al empleado en el resto de los sistemas. Para calcular la sombra de un punto dado (A,a) unimos las proyecciones directas A-F y secundarias a-f, del punto y del foco dados y tenemos así definida la recta de sombra R,r. El punto de corte de la proyección directa R y secundaria r de la recta entre sí, es la traza de la recta R con el geometral en proyección cónica según vimos en fundamentos del Sistema Cónico. La traza de R, recta de sombra, con el plano geometral es por tanto la sombra de A sobre el geometral. Figura 25. Esta recta R, r tiene su correspondiente punto límite (Lr, lr). Para un foco dado F, cada punto generará una recta de sombra con su correspondiente punto límite.
Sistema Cónico. Sombras punto y recta en el Plano Geometral. Foco propio.
Sombra de una recta en el plano geometral.
La sombra de una recta sobre el geometral es otra recta, se calcula uniendo las sombras de dos de sus puntos. En la figura 25 calculamos la sombra de una recta B-C perpendicular al plano geometral geometral y donde la sombra del punto C coincide con el mismo por pertenecer este al mencionado plano.
Sombra de un punto sobre un plano perpendicular al geometral y otro frontal
En la figura 26 calculamos la sombra de y un punto A dado, para un foco F determinado, sobre los planos Q perpendicular al plano geometral y P frontal. La sombra de A sobre el geometral Sa y sobre los planos Q y P (Sa-Q, Sa-P) coincidirá con las intersecciones de la recta de sombra R que contiene al punto A y los planos mencionados. Para determinar las intersecciones entre la Recta R y los planos P y Q hacemos pasar por la recta un plano O auxiliar y de sencillo trazado (perpendicular al plano geometral). Los planos dados y el plano auxiliar tomado se cortan en las rectas T y S.
Por tratarse de planos perpendiculares al plano geometral, las rectas de intersección entre ellos resultantes serán también perpendiculares al plano geometral y mostrarán por tanto su punto de fuga en el infinito (véase fundamentos del Sistema Cónico, intersecciones).
Los puntos de intersección (Sa-Q y Sa-P) entre las rectas auxiliares (T, S) y la recta de sombra R determinan la sombra arrojada del punto A sobre los planos dados.
Sistema Cónico. Sombra de un punto sobre un plano perpendicular al geometral y otro frontal. Foco propio.
Sombra de un punto sobre un plano oblicuo.
Para determinar la sombra del punto A sobre el plano Q dado, determinamos previamente la recta de sombra R por la que hacemos pasar un plano auxiliar O. Calculamos la recta S de intersección entre los planos P y O obteniendo la sombra Sa-Q buscada en la intersección entre la recta de sombra R y la auxiliar S. Figura 27.
Recordemos que para determinar la recta intersección entre de dos planos en Sistema Cónico hemos de unir los puntos de intersección 1 y 2 de sus trazas homónimas.
Sistema Cónico. Sombra de un punto sobre un plano plano oblicuo. Foco propio.
Sombra de un cuerpo en un plano perpendicular al geometral y oblicuo al cuadro.
Calculamos la sombra de cada uno de los vértices del poliedro dado en el geometral y unimos ordenadamente –podemos observar que la sombra del punto C está situada por detrás del plano Q dado por lo que, considerándolo opaco, debemos calcular la sombra de C sobre dicho plano–. Para ello bastará con trazar una recta perpendicular a la LT por el punto 1 de intersección entre la proyección secundaria de la recta de sombra del punto C y la traza sobre el geometral q del plano dado.
Para unir el punto Sc-Q así calculado con los correlativos Sb y Sd y determinar así las sombras arrojadas de las aristas B-C y C-D tendremos en cuenta que las sombras arrojadas de estas aristas sobre el plano geometral cortan a la traza secundaria q del plano Q dado en los puntos dobles 2 y 3. Estos puntos pertenecen simultáneamente a las sombras arrojadas de las aristas D-C y C-B sobre el plano geometral y Q dado. Para determinar las sombras de las aristas D-C y C-B bastará pues con trazar desde Sc-Q las polilíneas Sc-Q, 3, Sb y Sc-Q, 2, Sd. Figura 28.
Sistema Cónico. Sombra de un punto sobre un plano oblicuo. Foco propio.
Sistema Cónico. Sombras. Foco impropio
Sombras foco impropio.
Dirección de los haces y determinación de los puntos de concurso.
Cuando la luz tiene su origen en un foco impropio (infinito=sol), los haces se muestran paralelos entre sí y a una dirección determinada. Como sabemos, las rectas que tienen igual dirección muestran en Sistema Cónico un mismo punto de concurso. La dirección de los haces de la luz vendrá por tanto determinada en Sistema Cónico por un punto de concurso Ld y por el correspondiente punto de fuga ld de las proyecciones sobre el geometral de dichos haces. Para indicar el sentido de la luz, diferenciaremos si el foco está por delante o por detrás del espectador. Figuras 29 (y 31).
Sistema Cónico. Sombra de un punto en el plano geometral. (Sol detrás del espectador)
Cuando la dirección de los haces es paralela al plano del cuadro, el punto de concurso de estos está en el infinito(véase rectas paralelas al Plano del Cuadro en fundamentos del Sistema Cónico). En estos casos, la dirección de la luz vendrá dada por dos vectores D y d, el primero corresponde a la proyección principal, sobre el Plano del Cuadro, de uno cualquiera de estos rayos de luz y el segundo, paralelo a la línea de tierra, que se corresponde con la proyección secundaria del mencionado rayo o uno paralelo. Figura 30.
También pueden darnos a conocer la dirección y sentido de la luz por las proyecciones ortogonales, que no cónicas, sobre el plano del cuadro y geometral respectivamente (D1 y d1) de la dirección de la luz. La proyección ortogonal del rayo de luz sobre el cuadro D1 coincide con el papel. Para poder trabajar con la proyección sobre el geometral d1 esta nos viene dada abatida sobre el Plano del Cuadro a partir del Plano Geometral que la contiene. D1 se aprecia por tanto en alzado y d1 en planta. La ubicación absoluta y relativa de ambas proyecciones es indeterminante pues se trata de una dirección y no de una recta. El sentido de la luz vendrá indicado con una flecha.
Para determinar el punto de concurso al que deben acudir todas las rectas[1] o rayos de luz que se muestren paralelos a esta dirección definida por D, trazamos por el punto principal P una recta paralela a D1 y, ya en planta, por el punto de vista abatido V, una recta paralela a d1. Esta última corta al plano del cuadro y sobre la línea del horizonte, en el punto ld, punto de concurso de todas las rectas que sean proyección sobre el plano geometral de la dirección dada. Determinamos el punto de concurso de las rectas paralelas a la dirección dada Ld sin más que trazar por ld una recta perpendicular a la línea de tierra y hasta cortar a la paralela trazada por P a D1. Figura 29.
Sombra de un punto en el plano geometral. (Sol detrás del espectador)
Dada la dirección de la luz por las mencionadas proyecciones ortogonales D1 y d1 y un punto A,a, por su proyección cónica, determinamos los límites de la dirección dada Ld y ld según lo expuesto. Desde A, a trazamos la proyecciones principal y secundaria de la recta de sombra R,r, según sus límites Ld y ld respectivamente. La proyección cónica de la traza sobre el geometral de la recta de sombra (intersección de R y r), es la proyección cónica de la sombra de A (Sa) buscada.
Sombra de una figura plana en el plano geometral. (Haces paralelos al cuadro)
Dado el polígono de la figura por sus puntos A, B, y C así como la dirección de la luz D,d, paralela al cuadro, trazamos por las proyecciones directas y secundarias de los puntos paralelas a las proyecciones secundarias D y d de la dirección de la luz obteniendo de éste modo las rectas R, S y T. Las trazas sobre el Plano geometral de éstas rectas determinan las sombras arrojadas de los puntos A, B y C respectivamente sobre dicho plano. Uniendo las sombras obtenidas Sa, Sb y Sc obtenemos la sombra arrojada del polígono dado. Figura 30.
Sistema Cónico. Sombra de una figura plana en el plano geometral. (Haces paralelos al cuadro)
Sombra de un cuerpo en el plano geometral. (Sol delante del espectador).
Dado el poliedro de la figura, con una de sus bases contenidas en el geometral y una dirección de la luz definida por sus puntos de concurso L y l, calcularemos la sombra del cuerpo. Para ello determinamos la sombra de cada uno de sus vértices y unimos ordenadamente. Hay que tener en cuenta que los vértices de la base inferior, por estar ésta contenida en el plano geometral, muestran sus sombras arrojadas coincidentes con sus proyecciones directas correspondientes. La sombra propia vista en el ejemplo está en la cara DHGC. Son líneas separatrices las aristas CD, BF, EF, EH y HD. Figura 31
Sistema Cónico. Sombra de un cuerpo en el plano geometral. Sol delante del espectador.
[1] Procedemos como de costumbre para determinar el punto de fuga. Trazando paralelas por el punto de vista a la dirección o recta dada y su proyección sobre el geometral hasta cortar al plano del cuadro.
Sistema Acotado. Sombras. Foco impropio
Sombras foco impropio.
Como en el resto de sistemas, en este también podemos operar con foco propio. No siendo este un sistema diseñado para la representación de piezas, resolveré un solo ejercicio para entender el proceso.
Sombra de una pirámide en el plano de proyección.
Dada la pirámide de la figura, con su base paralela al Plano de Proyección y dada la recta R que determina la dirección de la luz (proyección r de una recta, debidamente graduada y sin ubicación concreta), abatimos la recta para comprobar su pendiente. Por un vértice A de la base del cuerpo trazamos una recta paralela a la dirección dada y por el punto abatido en Ao una recta paralela a la dirección abatida Ro. El punto de intersección de ambas rectas paralelas determina la sombra Sa del punto A en el plano de proyección.
Con el vértice V de la figura trabajamos de igual forma. Para determinar la sombra de los puntos B, C y D de la base podemos proceder como con el punto A o bien trazar por la sombra Sa obtenida una base paralela a la del cuerpo. Por ser la base ABCD paralela al Plano de Proyección, su sombra sobre este se mantiene con idéntica magnitud y forma. Unimos la sombra del vértice superior V con la sombra de los vértices de la base y procedemos al rayado de la parte vista de la sombra arrojada. La sombra propia vista corresponde a las caras AVD y CVD siendo sombra propia oculta la propia base del cuerpo ABCD. Las líneas separatrices son las aristas laterales AV y VC y de la base AB y BC. Figura 24.
Sistema Acotado. Sombra de una pirámide. Foco impropio
